浮点数，二进制浮点数，IEEE 754 二进制浮点数介绍
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浮点数
浮点数是一种小数表示方式，其中“浮点”的含义为小数点是浮动变化的，这通常对应着指数的改变，因为浮点数存储数字科学计数法的相关信息，包括指数，尾数等条目。
为何使用浮点数？
总的来说，浮点数是一种平衡方案，兼顾了扩大数字描述范围和节省存储空间，因为通过指数可以表示更趋向于0或无穷的数字，而其自身占用的空间又很小。
假设浮点数采用了十进制，那么描述0.000000000001234小数点后面大量的0，只需存储其科学计数法1.234×10⁻¹²中的指数-12，而不是为每个0分配真实的存储空间。
二进制浮点数
目前的浮点数硬件普遍采用二进制，这是由于 IEEE 754-1985 标准的流行，该标准仅规定了浮点数的二进制存储格式。而在 IEEE 754-1985 出现之前，浮点数的格式并不统一，有些硬件支持十进制甚至三进制格式的浮点数。
虽然后来的 IEEE 754-2008 加入了浮点数的十进制存储格式，但改变不会轻易发生，因为这对于硬件厂商意味着风险。
不同进制浮点数所存储的指数和尾数
理所当然的，对于不同进制的浮点数，其存储的指数和尾数信息，应来自于对应进制的科学计数法，否则会给计算带来不必要的麻烦。
比如，将小数12.3转换为采用十进制的浮点数，如果确定使用科学计数法1.23×10¹，那么指数应该可以换算为十进制的1，尾数应该可以换算为十进制的1.23。
二进制浮点数不准确
事实上因为进制的转换问题，采用二进制的浮点数具有不准确性，你可以查看为何二进制浮点数不准确？IEEE 754 二进制浮点数舍入规则一节了解相关信息。
IEEE 754 二进制浮点数
同样是依赖科学计数法和二进制格式，不同的设计方案可能导致浮点数的表现大相径庭，IEEE 754 定义了二进制浮点数符号，指数，尾数的格式，他们依次排列并占用 4，8 或更多个字节的存储空间。
IEEE 754 二进制浮点数符号格式
符号占用 1 个 bit 的存储空间，为1时表示浮点数是一个负数，为0时表示浮点数是一个非负数。
IEEE 754 二进制浮点数指数格式
指数在 4/8 字节浮点数中占用 8/11 个 bit 的存储空间，指数在存储之前需要计算为指数编码值，计算方法为科学计数法中的指数真实值加上指数偏移值。指数偏移值的计算公式是2ⁿ⁻¹-1，n为指数占用的 bit 个数，4/8 字节浮点数的指数偏移值为127/1023。
使用指数编码值是为了方便表示指数为负的情况，假设在 4 字节的浮点数中，指数存储的二进制内容为01111011（对应十进制数字为123），那么指数编码值就是123，指数真实值就是123-127，即-4。
此外，除了参与正常运算，指数编码值还用于判断特殊值或特殊格式是否成立。
IEEE 754 二进制浮点数尾数格式
尾数在 4/8 字节浮点数中占用 23/52 个 bit 的存储空间，当尾数不等价于0并且指数编码值对应的十进制数值大于等于0小于2ⁿ⁻¹-1（其中n表示指数在存储空间中占用的 bit 个数）时，尾数最高位将被隐藏，不会真正存储在浮点数中。这种做法使得尾数节省出 1 个 bit 的存储空间，而且不会影响运算，因为根据指数编码值可以得知被隐藏的尾数最高位是0还是1。
十进制的0.5对应的二进制科学计数法为1×10⁻¹（其中的数位0，1均为二进制，10对应了十进制的2），尾数最高位1被省去后，其在 4 字节浮点数中的存储内容将是00000000000000000000000（仅尾数部分）。
IEEE 754 二进制正规和次正规浮点数
如果指数编码值对应的十进制数值大于0小于2ⁿ⁻¹-1（其中n表示指数在存储空间中占用的 bit 个数），则浮点数属于正规浮点数，被隐藏的尾数最高位为1。正规浮点数是最为常见的，其二进制科学计数法中的尾数最高位总是为1。
如果指数编码值等价于0，尾数存储的二进制内容不等价于0，则浮点数属于次正规浮点数，被隐藏的尾数最高位为0，指数真实值由0-(2ⁿ⁻¹-1)改为0-(2ⁿ⁻¹-1)+1（其中n表示指数在存储空间中占用的 bit 个数）。
IEEE 754 二进制次正规浮点数的作用是什么？
次正规浮点数用于表示比正规浮点数更趋近于0的小数，因为其隐藏的尾数最高位为0，对应的二进制科学计数法尾数为纯小数而非混合小数，等同于变相增加了指数范围，而这一范围是正规浮点数指数无法到达的。
在次正规浮点数对应的二进制科学计数法中，出现在尾数小数点后以及尾数第一个1之前的0越多，指数变相增加的范围就越大。为了方便说明，我们以十进制科学计数法0.00003×10⁻³⁸为例，他等同于3×10⁻⁴³，指数变相由-38成为了-43。
IEEE 754 二进制浮点数特殊值的表示
当指数编码值和尾数存储的二进制内容均等价于0时，浮点数表示数字0。
当指数编码值对应的十进制数值等于2ⁿ⁻¹-1时（其中n表示指数在存储空间中占用的 bit 个数），则将根据尾数决定浮点数表示的特殊值，尾数存储的二进制内容等价于0表示无穷，不等价于0表示非数字NaN。
编程语言中的二进制浮点数类型
几乎所有的编程语言都实现了 IEEE 754 标准的二进制浮点数，比如，C# 中的float和double类型，Python 中的float类。这样做的好处是可以利用同样采用 IEEE 754 二进制格式标准的浮点数硬件，随着浮点数硬件性能的提升，程序运行的效率会得到改善。
运算规则不适用于浮点数类型
浮点数使用有限的存储空间来表示极大范围的数字，因此数字中的一些数位可能会被忽略。从这个角度讲，浮点数是一种近似值，他无法保证某些运算规则的正确性。比如，当x与y不相等时，a+x与a+y未必不相等，因为x，y可能在加法运算后被忽略。
在 C# 中，浮点数0.00000000000000000001f不等于浮点数0.00000000000000000002f，而1.0f+0.00000000000000000001f却可以等于1.0f+0.00000000000000000002f，因为小数部分在加法运算后被忽略。
// 不相等，输出 False
Console.WriteLine(0.00000000000000000001f == 0.00000000000000000002f);
// 相等，输出 True
Console.WriteLine(1.0f + 0.00000000000000000001f == 1.0f + 0.00000000000000000002f);False
True二进制浮点数的近似性与不准确无关
二进制浮点数不准确的根源是进制的转换，而近似则是其本身的设计理念，如果提供足够的存储空间，近似的情况可能会消失。
编程语言中的十进制浮点数类型
在编程语言中，并非所有的浮点数类型都采用了 IEEE 754 的二进制格式，比如，C/C++ 编译器 GCC 支持的_Decimal32，_Decimal64，_Decimal128，他们是十进制格式的浮点数类型。十进制浮点数类型没有二进制浮点数类型不准确的问题，因此可用于精确计算，比如，统计银行存款。
编程语言中十进制浮点数类型的运算效率
虽然十进制浮点数类型没有了不准确的问题，但其运算效率可能不及二进制浮点数，因为缺少浮点数硬件的有效支持。硬件可能无法直接运算十进制数字，而是需要其自身或软件进行某种转换，这降低了运算效率。
当然，如果有需求，不排除未来一些浮点硬件提升十进制浮点数运算能力。