浮點數，二進位浮點數，IEEE 754 二進位浮點數介紹
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浮點數
浮點數是一種小數表示方式，其中“浮點”的含義為小數點是浮動變化的，這通常對應著指數的改變，因為浮點數儲存數值科學運算質的相關資訊，包括指數，尾數等項目。
為何使用浮點數？
總的來說，浮點數是一種平衡方案，兼顧了擴大數值描述範圍和節省儲存空間，因為通過指數可以表示更趨向於0或無限大的數值，而其自身占用的空間又很小。
假設浮點數采用了十進位，那麽描述0.000000000001234小數點後面大量的0，只需儲存其科學運算質1.234×10⁻¹²中的指數-12，而不是為每個0分配真實的儲存空間。
二進位浮點數
目前的浮點數硬體普遍采用二進位，這是由於 IEEE 754-1985 標準的流行，該標準僅規定了浮點數的二進位儲存格式。而在 IEEE 754-1985 出現之前，浮點數的格式並不統一，有些硬體支援十進位甚至三進位格式的浮點數。
雖然後來的 IEEE 754-2008 加入了浮點數的十進位儲存格式，但改變不會輕易發生，因為這對於硬體廠商意味著風險。
不同進位浮點數所儲存的指數和尾數
理所當然的，對於不同進位的浮點數，其儲存的指數和尾數資訊，應來自於對應進位的科學運算質，否則會給計算帶來不必要的麻煩。
比如，將小數12.3轉換為采用十進位的浮點數，如果確定使用科學運算質1.23×10¹，那麽指數應該可以換算為十進位的1，尾數應該可以換算為十進位的1.23。
二進位浮點數不準確
事實上因為進位的轉換問題，采用二進位的浮點數具有不準確性，你可以檢視為何二進位浮點數不準確？IEEE 754 二進位浮點數拾入規則一節了解相關資訊。
IEEE 754 二進位浮點數
同樣是依賴科學運算質和二進位格式，不同的設計方案可能導致浮點數的表現大相徑庭，IEEE 754 定義了二進位浮點數符號，指數，尾數的格式，他們依次排列並占用 4，8 或更多個位元組的儲存空間。
IEEE 754 二進位浮點數符號格式
符號占用 1 個 bit 的儲存空間，為1時表示浮點數是一個負數，為0時表示浮點數是一個非負數。
IEEE 754 二進位浮點數指數格式
指數在 4/8 位元組浮點數中占用 8/11 個 bit 的儲存空間，指數在儲存之前需要計算為指數編碼值，計算方法為科學運算質中的指數真實值加上指數位移值。指數位移值的計算公式是2ⁿ⁻¹-1，n為指數占用的 bit 個數，4/8 位元組浮點數的指數位移值為127/1023。
使用指數編碼值是為了方便表示指數為負的情況，假設在 4 位元組的浮點數中，指數儲存的二進位內容為01111011（對應十進位數值為123），那麽指數編碼值就是123，指數真實值就是123-127，即-4。
此外，除了參與正常運算，指數編碼值還用於判斷特殊值或特殊格式是否成立。
IEEE 754 二進位浮點數尾數格式
尾數在 4/8 位元組浮點數中占用 23/52 個 bit 的儲存空間，當尾數不等價於0並且指數編碼值對應的十進位數值大於等於0小於2ⁿ⁻¹-1（其中n表示指數在儲存空間中占用的 bit 個數）時，尾數最高位將被隱藏，不會真正儲存在浮點數中。這種做法使得尾數節省出 1 個 bit 的儲存空間，而且不會影響運算，因為根據指數編碼值可以得知被隱藏的尾數最高位是0還是1。
十進位的0.5對應的二進位科學運算質為1×10⁻¹（其中的數位0，1均為二進位，10對應了十進位的2），尾數最高位1被省去後，其在 4 位元組浮點數中的儲存內容將是00000000000000000000000（僅尾數部分）。
IEEE 754 二進位正規和次正規浮點數
如果指數編碼值對應的十進位數值大於0小於2ⁿ⁻¹-1（其中n表示指數在儲存空間中占用的 bit 個數），則浮點數屬於正規浮點數，被隱藏的尾數最高位為1。正規浮點數是最為常見的，其二進位科學運算質中的尾數最高位總是為1。
如果指數編碼值等價於0，尾數儲存的二進位內容不等價於0，則浮點數屬於次正規浮點數，被隱藏的尾數最高位為0，指數真實值由0-(2ⁿ⁻¹-1)改為0-(2ⁿ⁻¹-1)+1（其中n表示指數在儲存空間中占用的 bit 個數）。
IEEE 754 二進位次正規浮點數的作用是什麽？
次正規浮點數用於表示比正規浮點數更趨近於0的小數，因為其隱藏的尾數最高位為0，對應的二進位科學運算質尾數為純小數而非混合小數，等同於變相增加了指數範圍，而這一範圍是正規浮點數指數無法到達的。
在次正規浮點數對應的二進位科學運算質中，出現在尾數小數點後以及尾數第一個1之前的0越多，指數變相增加的範圍就越大。為了方便說明，我們以十進位科學運算質0.00003×10⁻³⁸為例，他等同於3×10⁻⁴³，指數變相由-38成為了-43。
IEEE 754 二進位浮點數特殊值的表示
當指數編碼值和尾數儲存的二進位內容均等價於0時，浮點數表示數值0。
當指數編碼值對應的十進位數值等於2ⁿ⁻¹-1時（其中n表示指數在儲存空間中占用的 bit 個數），則將根據尾數決定浮點數表示的特殊值，尾數儲存的二進位內容等價於0表示無限大，不等價於0表示非數值NaN。
程式設計語言中的二進位浮點數型別
幾乎所有的程式設計語言都實作了 IEEE 754 標準的二進位浮點數，比如，C# 中的float和double型別，Python 中的float類別。這樣做的好處是可以利用同樣采用 IEEE 754 二進位格式標準的浮點數硬體，隨著浮點數硬體效能的升階，程式執行的效率會得到改善。
運算規則不適用於浮點數型別
浮點數使用有限的儲存空間來表示極大範圍的數值，因此數值中的一些數位可能會被忽略。從這個角度講，浮點數是一種近似值，他無法保證某些運算規則的正確性。比如，當x與y不相等時，a+x與a+y未必不相等，因為x，y可能在加法運算後被忽略。
在 C# 中，浮點數0.00000000000000000001f不等於浮點數0.00000000000000000002f，而1.0f+0.00000000000000000001f卻可以等於1.0f+0.00000000000000000002f，因為小數部分在加法運算後被忽略。
// 不相等，輸出 False
Console.WriteLine(0.00000000000000000001f == 0.00000000000000000002f);
// 相等，輸出 True
Console.WriteLine(1.0f + 0.00000000000000000001f == 1.0f + 0.00000000000000000002f);False
True二進位浮點數的近似性與不準確無關
二進位浮點數不準確的根源是進位的轉換，而近似則是其本身的設計理念，如果提供足夠的儲存空間，近似的情況可能會消失。
程式設計語言中的十進位浮點數型別
在程式設計語言中，並非所有的浮點數型別都采用了 IEEE 754 的二進位格式，比如，C/C++ 編譯器 GCC 支援的_Decimal32，_Decimal64，_Decimal128，他們是十進位格式的浮點數型別。十進位浮點數型別沒有二進位浮點數型別不準確的問題，因此可用於精確計算，比如，統計銀行存款。
程式設計語言中十進位浮點數型別的運算效率
雖然十進位浮點數型別沒有了不準確的問題，但其運算效率可能不及二進位浮點數，因為缺少浮點數硬體的有效支援。硬體可能無法直接運算十進位數值，而是需要其自身或軟體進行某種轉換，這降低了運算效率。
當然，如果有需求，不排除未來一些浮點硬體升階十進位浮點數運算能力。